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〝認識が言語を予感するように、言語は認識を想起する〟・・・ヘルダーリン(ドイツ詩人)
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話は原子スペクトル線にさかのぼります。

飛び飛びのラインとなって輝くと言う原子スペクトルの振る舞いは、ニュートン古典力学では記述できない現象でした。ボーアの原子モデルが原子スペクトル現象を上手く説明しましたが、ボーアの原子モデルに出て来る不明点(何故、決まった電子軌道しか無いのか?)を解決したのが、ハイゼンベルクとシュレーディンガーです。

ハイゼンベルクは、行列を用いて、位置xや運動量pなどの物理量を記述した運動方程式を提唱。

シュレーディンガーは、波動関数を用いた波動方程式Ψを提唱。この方程式では、位置xや運動量pなどといった物理量に、それぞれ特有の演算子が対応付けられるようになっています。

ハイゼンベルクとシュレーディンガーの提唱したスタイルは、外見は異なっていますが、中身は全く同じ事を言っています。

古典力学では、位置xや運動量pと言った物理量は、ただの数なので、xp=pxというように、数式の中で交換する事が可能です。xp-px=0です。しかし量子力学ではxp≠px、xp-px=iℏとなります。こうした交換関係を、非可換と言います。

xp-px=iℏ

この記述(非可換である事を示す記述)は、物理的には以下のような意味を持ちます:

  • [位置x]と[運動量p]を同時に確定する事はできない
  • [位置の測定精度]×[運動量の測定精度]≧ℏ/2・・・「不確定性関係」

ここで、改めて、原子スペクトルが飛び飛びの値を取るのは何故か――を考えてみます。

電子の持つ軌道角運動量をlとします。x軸、y軸、z軸に対応する3つの成分を含むベクトル量です。

lr×p

この意味記述は、古典力学と共通のルールです。ここでのrpも、x軸、y軸、z軸に対応する3つの成分を含むベクトル量です。

量子力学を支配する不確定性原理により、各成分を同時に測定する事は出来ません。この条件の中では、軌道角運動量の大きさlは、1つの成分だけ測定可能と言う風になります。ここでz成分を採用し、これを磁気量子数lzとします。

角運動量は量子化されているので、軌道角運動量lの取れる値は、0ℏ、1ℏ、2ℏ、3ℏ…という整数値のみ。

ゆえに、磁気量子数lzは、-lから+lまでの間の整数値に限定されます(lzが取れる値の数は、2l+1個である)。

以上の考え方をシュレーディンガー方程式に適用すると、「主量子数n」が出て来ます(n=1、2、3、…)。

この主量子数nがボーアの軌道番号に相当する物で、原子内部の電子のエネルギー準位は、この主量子数nで決まります。

n=1の状態が、最もエネルギー準位が低く、安定している状態。nが大きくなるにつれて、エネルギー準位も上昇。なおかつ、「軌道角運動量l<主量子数n」であります。

電子軌道が励起されることによって高エネルギー準位になり、そこから低いエネルギー準位に落ち込む時、飛び飛びの量子数に伴って、このエネルギー差が、電磁波として放出されます。原子スペクトルが飛び飛びの値を取るのは、これが理由なのです(例:水素原子スペクトルのバルマー系列、パッシェン系列、ブント系列etc)。

そして、ここで新たに浮上する謎は、ゼーマン効果。磁場中で原子スペクトル線が分裂する現象です(ゼーマン効果=スペクトル線が3本になる、異常ゼーマン効果=スペクトル線が3本超・多数になる)。

しかし、電子が持つ軌道角運動量からは、奇数個の磁気量子数(2l+1個)しか出て来ません。2本に分裂するスペクトル線は、電子の自由度に由来すると考えられました(=電子の二価性)。

この余分な自由度を「古典的記述が不可能な二価性」と見抜き、説明したのは、パウリです。この説明が「パウリの排他原理」です。

量子力学に、「電子の二価性」と「パウリの排他原理」を取り入れると、原子の安定性や元素の周期表がキッチリ説明できるようになります。ただし、「パウリの排他原理=同じ量子状態には2個以上の電子は存在できない」は、現代物理学の謎です(まだ解明されていない)。

「古典的記述が不可能な電子の二価性」が、回転の概念からどのように生じるか?――

まず、物体の回転を、一般的な座標軸の回転として数学的に記述してみます:

  • 3次元ベクトルJ=(Jx, Jy, Jz)――これで、空間内の全ての回転を表現
    • Jx=x軸まわりの回転
    • Jy=y軸まわりの回転
    • Jz=z軸まわりの回転

次に、Jの各成分について、量子力学の交換関係を適用し、許される電子の量子状態を求めると:

J値=0、1/2、1、3/2、2、…(軌道角運動量では解釈できない半整数値が含まれてくる)

ここで、

もっとも単純な半整数J値=1/2の場合、Jの持つ成分の一つ磁気量子数Jz=-1/2、+1/2

これを電子が持つ二価性の元と考えると、原子スペクトル線の分裂(ゼーマン効果)を上手く説明できるようになります。

この、電子が内在的に持つ回転成分(自転に対応するように見える成分)を、「スピン」と言います。

そして、1/2角運動量は0を除く最小の角運動量であり、1/2角運動量からあらゆる角運動量が合成できる…と言えます。

  • スピン角運動量+1/2状態=上向きスピン、または右巻きスピン
  • スピン角運動量-1/2状態=下向きスピン、または左巻きスピン

しかし、電子の自転(スピン)を、古典力学における惑星の自転運動と同じように考えると、光速より速い自転速度を考えなければならず、相対論との矛盾が生じてしまいます。パウリは、新たな空間を想定する事で、この困難を解決したのです。

パウリは、「スピンは、我々が認識する通常の空間内の回転では無い」と解釈しました。パウリが想定した空間は「複素2次元空間」です。これは、虚数(イマジナリー・ナンバー)の成分を併せ持つ空間です。

パウリが考案した2×2の「パウリ行列」は、電子のスピン状態を、右スピンと左スピンの2成分を持つ2次元複素ベクトルで表しています。

電子のスピンとは、複素2次元空間における回転であります。

量子力学では、スピン1/2とスピン1/2とを合成すると、角運動量1と角運動量0が得られます。複素2次元空間におけるスピン角運動量と、実空間における角運動量との間の対応関係を計算してみると、次のようなことが分かります。

実空間における1回転は、複素2次元空間における半回転に相当します。したがって、3次元空間内で1回転(360度の回転)した時、複素2次元空間内のスピンの向きは半回転、つまり逆を向いている状態(180度の回転)です。スピンの向きが元に戻るには、実空間で、更にもう1回転する必要があります(実空間において総合720度の回転が必要)。

このスピンが住まう時空は、数学的にはリーマン面で表す事ができます――通常の時空から見ると、幾何学的には、2重構造を持つ時空となります。スピンの向きを回転して、元の向きまで戻って来るには、通常の時空で2回転しなければならない事が見て取れます。


リーマン面(Wikiより)…場の理論においては「スピノル場」波動関数の幾何学的構造である

これが、電子の「古典的記述が不可能な二価性」の本質です。

電子スピンの状態量は、複素2次元空間ベクトルで表されますが、量子力学の方程式に従う特殊な変換性を持つ量なので、「スピノル」と呼ばれます。2つのスピノルから通常の1ベクトルを構成する事が出来るので、スピノルは「半ベクトル」とも呼ばれます。

粒子の持つ、この摩訶不思議なスピノル性は、ディラックの相対論的量子論(ディラック方程式)で説明されます。

ディラックは、量子力学をミンコフスキー時空で構築し直したのです。ディラック方程式を解くと、パウリの行列式と2成分のスピノルが現れます。つまり、相対論的量子力学によって、電子の1/2スピンを自然な形で導けるという訳です。

※ミンコフスキー時空は虚数軸を含む4次元ユークリッド空間です。そこでは、世界長さsは、3次元空間における距離を4次元空間に拡張した量であり、次の式で定義されます。

s2=x2+y2+z2+(ict)2

ローレンツ変換は、ミンコフスキー時空においては回転で表されます(4次元ユークリッド空間における虚数軸と他の実数軸との間の回転)。

実際は、ディラック方程式を解いて得られる解(波動関数)には、正のエネルギーの解と負のエネルギーの解があります。そして、4成分のスピノルがあります。

4成分のスピノルのうち2つは正のエネルギーを持つ電子の自由度と解釈され、残りの2つは負のエネルギーを持つ電子に由来する自由度と解釈されました。

負のエネルギーを持つ電子の海が「ディラックの海」です。そこで1つの状態に空きが出来た場合、欠けた負のエネルギーの分が正のエネルギーとなって観測されるとするのです。こうして、観測に掛かる反粒子(陽電子)の存在が予言されました。そして、後に、宇宙線の観測から陽電子が発見されました。

ディラック方程式が含む4成分のスピノルは、更に「超対称性」につながる興味深い内容を暗示しています。

相対論におけるベクトル(位置ベクトルや運動量ベクトル)は、4元ベクトルです。これはローレンツ変換の規則を満たす量で「ローレンツ共変量」と呼ばれます。複数のベクトルを組み合わせたテンソルもローレンツ共変量です。

世界長さや質量はローレンツ変換に対して不変な量で、ローレンツ不変量、ローレンツスカラー、スカラーなどと呼ばれますが、これもローレンツ変換の規則を満たしており、「ローレンツ共変量」として扱います。

ディラックの4成分のスピノルは、特殊相対論とは異なるローレンツ変換性を示しますが、それでも「ローレンツ共変量」の一種です。更に特殊相対論における種々のベクトルとは異なり、「古典的記述が不可能な二価性」を持っています。

――つまり、ディラックのスピノルは、パウリのスピノルと同様な「半ベクトル」なのであり、なおかつ、「最も基本的なローレンツ共変量」なのです。

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『137(物理学者パウリの錬金術・数秘術・ユング心理学をめぐる生涯)』拝読しました。

科学哲学史・科学思想史としても、実に興味深い内容…

当時、量子ワールドに付いて回る様々な異様な事実、つまり不確定性原理(量子レベルになると、位置と運動量を同時に決められない)などを理解するのは、非常に大変であったと言う空気が、パウリの精神異常などの懊悩を通じて伝わってくる感じです。

例えば異常ゼーマン効果は、現代物理学カリキュラムの中では割にスラッと通過してしまうパートなのですが、当時の物理学者たちは、その現象を説明するのに非常に苦労していたと…

パイオニアたちの苦闘にシンミリさせられる部分が大きかったです。

原子を取り巻く電子軌道のスペクトル線が詳細に観察されるようになると、それはバラバラとしていながらも規則的な間隔パターンを持つ=微細構造を持っているということが判明して来ました。この「スペクトル線の微細構造」が、微細構造定数の由来。

バラバラながら規則的な微細構造パターンをもって現れる、そんなスペクトル線同士の間隔を決める要素は何か。

原子の周りを運動する電子は光速に近い速度(相対論的速度)を持っているということで、電子軌道論に相対論を適用。それで、従来の電子軌道モデルの式に追加項が現れたのですが、それが微細構造定数と呼ばれる項になりました。

この微細構造定数が問題でした。それは、距離や時間、エネルギー量などといった次元を持たない、いわば裸の数字そのもの、無次元数だったのです。

最初は、この数字は、小数「0.00729…」とされていましたが、そのうち、単純化し「1/137」、後には「137」という数字として、量子論的小宇宙と相対論的大宇宙の統合を仲立ちする、最もミステリアスな数字になったのでした。

この、いわば「宇宙の数字」たる謎の数字が、パウリを含む、新しい時代の科学者たちを悩ませるようになったと言う話。

さてパウリの精神異常は、本には診断名称は書かれていませんでしたが、どうやら双極性的なモノだったようです。人格分裂の気配も見える程のモノだったようで、ユングが関わった精神治療プロセスで出て来る一連のビジョン(夢)記録は興味深い物でした。

深層部に至る際の数々の露払い的な夢イメージを通過した後、初歩的なマンダラを象徴する時計=永久機関の夢を通して、抑圧されていた部分が顔を出す。すると、次の夢では、三人だった登場人物が四人になる(=未知の一人が加わって来た)と言う場面があったそうです。

その三要素から四要素への移行は、元型における四要素が揃ったことを暗示すると言う…

パウリの場合、抑圧されていたのは思考・感情・直観・感覚の四要素のうち、感情の要素。これは、デカルト・ニュートン以来、徹底した数学的合理性を旨として発展して来た近代物理学が、無意識的に抑圧していた部分でもあったようです(思想的には、機械論的な世界観とも言えましょうか)。

そういう意味では、集合無意識というフェーズにおいては、現代物理学を代表する量子ワールドの草創期を駆け抜けた天才科学者パウリは、まさに「時代の人」であったらしく。

夢の中で、四要素で定義された正方形の場が発生すると、精神再生のドラマが始まる。その正方形の場の周りは、結界されている(心の中心に決定的に注意を向けていると、そうなるようです。人や動物がグルグル回っている、剣や柵に囲われている、城壁によって封じられている等、色々なパターンがある)。

意識(象徴数3)と無意識(象徴数4)の融合ドラマは、そういう、キッチリと結界された「聖なる場」で生じる。錬金術的には、火と水の結婚とか、硫黄と水銀とか、男女の結婚とか、そう言うイメージ・ドラマで描かれることが多く。

三要素(家父長的な三位一体)と四要素(母系社会的な四位一体)。この相容れぬシロモノの、対立と融合のドラマが生じるというフェーズは、心理的には、非常に意義深いものだそうです。

神学的な意味で言えば、三元性(男性原理or奇数要素)と四元性(女性原理or偶数要素)の根深い歴史的な対立と相克であり、数字的な意味で言えば、マンダラによって結界された正方形の場の中で、3と4が調和的に組み合わさるプロセスである(幾何イメージ的には、多くは円、球体、三角形、正方形で象徴される)。

※マリア・プロフェティサの格言『1は2となり、2は3となり、第3のものから全一なる第4のものが生じる』

治療の最終段階を彩る宇宙時計のイメージは興味深い物でした。

(参照)パウリの夢の中に出てきた「宇宙時計」(引用文があったので…)
http://blog.goo.ne.jp/sonokininatte55/e/f228aecc470bc2a90123aa37239a2717

一連の夢体験は、パウリに、物理学と心理学の融合、すなわち「無意識(超意識)の科学」というような新たなテーマをもたらしたようです。これは量子論的世界観の確立と普及に直結していくものでもあったろうと思われます。

ただ、時代的には、オカルトに注目したナチスが台頭して来た時代で、タイミングが良かったのか悪かったのかは、何とも言えません。超能力(サイキック)だとか、そういうオカルト方面への注目度が上がった事で、無意識というモノの存在が注目されるようになった、という事は言えるようです。

興味深い部分をメモ:

▼問題:感覚的知覚と我々を取り巻く世界を理解するのに不可欠な抽象的思考との関係

我々は、次から次に降り注ぐ感覚的知覚から、どのようにして概念を生み出すのだろう。
感覚的知覚は、知覚者の精神の中に知識を生む。だが、両者をつなぐ過程では何が起こっているのだろうか。
心は外界から入って来る感覚的知覚を体系づける働きを生来的には備えておらず、我々はつまづきながら経験から学んでいくと論じることができるかも知れない。だがこの場合、正確とは言えない測定結果をもとに、どのようにして数学のような厳密な科学に到達するのだろう。
これに代わるもう一つの考え方は、生まれた時から心には既にある種の体系化の原理が存在しているとすることである。元型こそが「長い間探し求められてきた架け橋としての機能を担い、感覚的知覚と観念とをつないでいる」。
「したがって、元型は自然を扱う科学的理論を発展させる上でも欠くことのできない前提条件である」。言い換えれば、元型は創造性の触媒なのである。

▼光と闇の対立の意味

相補性はそもそもは、互いに補完し合う関係にある相補的な対(ペア)―例えば波動と粒子―の間の対立という観点に立てば、量子力学的現象の理解が可能である。対立物からなる相補的な対には、これに対応するさらに深遠な元型があることを指し示しているように思われる。更に言えば、こうした相補的な対は、二本に分裂するスペクトル線によって象徴化され、分裂の幅は137(=微細構造定数)という数で特徴づけられる。

CPT対称性の提唱と、夢に出た鏡像イメージとの共時性的なくだりのエピソードも、無意識的想像力と創造性との関係という観点からして、興味深く思える内容でした。

パウリの夢も、意識と無意識の対話レベルが進んで伝達に手慣れて来ると、数学的イメージで彩られて来たそうです(実際、パウリは数学の天才だった)。虚数iとか、δ、三角関数エトセトラ…この辺は、心は、自己言及するために、意識が良く知っている知識を駆使して、無意識からのメッセージを発して来るのだなあとシミジミしました。

夢の中において1、2、3、4が良く出て来るのも、それが、心にとっては分かりやすい、基本的なパーティー概念だからかも知れません。数の概念の駆使がハイレベルになってくると、12、16、32などと言った掛け合わせ数が出て来るのだろうと言う風に思いました。32はカバラでは、至高の調和と知恵の数字だそうです(知恵に至る道の数が32。或いは、ヘブライ・アルファベット22要素とセフィロト10要素の和)

夢の中に出て来る「色」と言うのも、同じようなモノなのだろうと類推しています。白(or金)と黒が基本色みたいですが、更に色概念の駆使が進むと、赤と青(or緑)が加わるのが多いそうで。他の色(紫、黄…エトセトラ)であるパターンも多いですが、色の種類が4種類である場合は、そのまま4要素として扱えるとか…

色彩に多大な関心を抱く芸術家の場合、夢の中の情景は総天然色であるパターンが多いそうですが、こういうのがマンダラの形を取ったりして、世界各地の、多彩な宗教画のようなイメージになって来るのだろうと思いました

今年も、どうぞよろしくお願いいたします

恒例の「1年の日本の状況は?」占いをやってみました

※2016年の予想内容をチェックしましたが、「国際関係の組み換えが起こるかな」と言う点は、トランプ大統領の爆誕で、或る程度当たったかも…と思案しています。

※あと、ブルガリアの予言者ババ・ヴァンガの2016年予言のメモもしていましたが、「イスラム教徒の過激派がヨーロッパへ侵略を行う」という項目は当たってるみたいです

過去=貨の女王(正)=寛容,価値を見出す,実り,才能,倹約,救済者,思わぬ幸運,慈しみ
現在=剣の王(正)=地位,豊かな経験,卓越した力,行動的,指導,守るべきものあり,権威
未来=貨8(逆)=悪用,目先の利益,基礎体力の低下,偽物

対応=杯8(逆)=新たな選択,古い物を捨てる
環境=剣9(逆)=喧嘩,不名誉,口論,疑い,中傷
願望=皇帝(正)=意志の力,行動力,物質的な豊かさ,成功,統率者,権力を得る

結果=剣3(逆)=離散,絶好,未熟,過失

(コメント)

日本は、前半は調子が良いようですが、後半は苦戦のようです

「剣の王」はトランプ大統領の始動を示しているという面もありそうですし、急に話題になった天皇の生前退位の件も示しているという事もありそうです。習近平やキムジョンウンの神格化っぽい問題も気になる所です

「本質を見誤ると未来は大変な事になる」という気配満々です。安倍首相の奮闘に期待したいと思います

未来に示された「偽物」という要素は、著作権法とか、違法コピーとかの問題が浮上する…という解釈が出来そうです。オレオレ詐欺なども、そうですし

将来の要素として出ている「基礎体力の低下」=国家的にも財政的な余力がなくなりそうだとか、その辺は注意でしょうか…

この1年は、色々な面で取捨選択を迫られる年になるらしいです。レガシー(過去の遺物)の問題が、いよいよ…という雰囲気です

五輪に向けての施設の問題もありますし、色々な勢力が影響力を発揮しようとして、或いは、自己利益を最大化しようとして、何かと抵抗や揉め事が増えるのは当然かなと思われました。トランプ大統領の時代になるだけに、暴言や誹謗中傷といった問題も頻発しそうです。まともで、かつ建設的な議論が交わされることを祈りたいと思います

結果は、二分裂しそうです。勝者と敗者がハッキリ分かれると言うか…巷の噂の通り、衆院選などの選挙があるとしたら、それまでの行跡次第で、それこそ厳しい結果が予期されそうです。「何処の政党にとって厳しいのか」という事は、カードは示しませんが…

政党分裂の気配は濃厚です。政界大再編のような騒ぎまでには、ならないようですが…

※自然災害は多発しそうです。大震災レベルの物が起きるかどうか、ちょっと心配になって来ました

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